Question

6．如图①，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中，DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD，ME，MF，MG．则下列结论正确的是①②③④（填写序号）
①四边形AFMG是菱形；②△DFM和△EGM都是等腰三角形；③MD=ME；④MD⊥ME．
（2）数学思考：
如图②，在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．
（3）类比探究：如图③Rt△ABC中，斜边BC=10，AB=6，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABD和ACE，请直接写出DE的长．

Answer 1

分析 （1）由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线性质以及四点共圆即可得出结论；
（2）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质以及各个角之间的关系即可得出结论；
（3）分四种情况，①等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC外侧，②等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC内侧，③等腰直角三角形ABD和ACE一个Rt△ABC外侧，④等腰直角三角形ABD和ACE一个Rt△ABC外侧，一个在等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC内侧分别求出DE的长度即可．

解答 解：（1）∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° 
∵在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF=BF=DF=$\frac{1}{2}$AB，AG=GC=GE=$\frac{1}{2}$AC． 
∵AB=AC，
∴DF=BF，GE=CG，
∴△DFM和△EGM都是等腰三角形，故②正确； 
∵M是BC的中点，
∴BM=CM． 
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM． 
在△DBM和△ECM中，
 $\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠DBM=∠ECM}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．故③正确；
连接AM、FM、GM，如图1所示：
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
又∵AF=BF，AG=CG，
∴FM=$\frac{1}{2}$AB=AF，GM=$\frac{1}{2}$AC=AG，
∴AF=FM=GM=AG，
∴四边形AFMG是菱形，
故①正确； 
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBM四点共圆，
∴∠AMD=∠ABD=45°． 
∵AM是对称轴，
∴∠AME=∠AMD=45°，
∴∠DME=90°，
∴MD⊥ME，故④正确，
故答案为：①②③④；

（2）解：MD=ME，MD⊥ME；理由如下：
取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，如图2所示：
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，AG=$\frac{1}{2}$AC． 
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，EG⊥AC，EG=$\frac{1}{2}$ AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG． 
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM． 
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE． 
∵在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=GE}\\{∠DFM=∠MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME，∠FMD=∠GEM，
∴∠DME=∠FMG-（∠FMD+∠GME）=∠MGC-（∠GEM+∠GME），
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=90°，
∵∠MGC-（∠GEM+∠GME）+∠EGC=180°，
∴∠DME=90°，
∴DM⊥EM；
∴MD=ME，MD⊥ME；

（3）Rt△ABC中，斜边BC=10，AB=6，
∴AC=8，
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3$\sqrt{2}$，AE=EC=4$\sqrt{2}$，
分四种情况，①如图3，
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=180°，
∴D，A，E三点共线，
∴DE=AD+AE=7$\sqrt{2}$，
②如图4，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴点A，D，E共线，
∴DE=AE-AD=$\sqrt{2}$，
③如图5，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
∴DE=5$\sqrt{2}$，
④如图6，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
∴DE=5$\sqrt{2}$，
综上所述：DE的长为：7$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．