Question

如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，动点E、F分别从A点、C点同时出发，均以2cm/s的速度分别沿AD向D点和沿CB向B点运动。

（1）经过几秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在线段AC上，是否存在一点P，使？若存在，请说明P点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设经过x秒首次可使EF⊥AC，AC与EF相交于点O，

则AE=2x，CF=2x。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF。
∴△AOE≌△COF（AAS）。∴AO=OC，OE=OF。
∵AB=12cm，AD=16cm，
∴根据勾股定理得AC=20cm。∴OC=10cm。
在Rt△OFC中，，∴。
过点E作EF⊥BC交BC于点H，
在Rt△EFN中,，∴。
解得。
∴经过秒首次可使EF⊥AC。
（2）过点E作EP⊥AD交AC于点P，则P就是所求的点。证明如下：
由作法，∠AEP=90⁰，
又EF⊥AC，即∠AOE=90⁰。∴△AEP∽△AOE。
∴，即。
∴。

（1）设经过x秒首次可使EF⊥AC，AC与EF相交于点O，过点E作EF⊥BC交BC于点H，由AAS证明△AOE≌△COF，得到AO=OC，OE=OF，从而求得OC=10cm，在Rt△OFC中，由勾股定理得。因此，在Rt△EFN中, 由勾股定理得，即，解出即可。
（2）证明△AEP∽△AOE即可得出结论。