Question

如图，已知矩形ABCD．
（1）在图中作出△CDB沿对角线BD所在直线对折后的△C′DB，C点的对应点为C′（用尺规作图，保留作图痕迹，简要写明作法，不要求证明）；
（2）设C′B与AD的交点为E．
①若DC=3cm，BC=6cm，求△BED的面积；
②若△BED的面积是矩形ABCD的面积的，求的值．

Answer 1

解：（1）作法：分别以点B、D为圆心，BC、CD半径作弧，两弧相交于点C′，使点C′与点C分别在直线BD的两侧．

（2）①由折叠可知，∠CBD=∠C′BD，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠C′BD=∠EDB，
∴BE=ED，
设BE=x，则ED=x，AE=AD-ED=6-x，
在Rt△ABE中，AE²+AB²=BE²，
即：（6-x）²+9=x²
解得：x=
所以△BED的面积为×ED×AB=××3=；

②∵△BED的面积是矩形ABCD的面积的，
∴=，
即=，
法1：∴=，
∴在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
从而∠DBC=30°，
∴=tan30°=．
法2：设AE=m，得BE=2m，AD=3m，
AB=m得=．
分析：（1）分别以B、D为圆心，以BC、CD的长为半径画弧，两弧的交点就是所要找的点C′；
（2）①根据折叠对称性和平行线的性质∠C′BD=∠EDB，所以BE=ED，在△ABE中利用勾股定理求出BE的长度，再根据三角形的面积公式，代入数据计算即可；
②根据三角形与矩形的面积关系求出ED与AD的关系，从而得到ED=2AE，所以∠ABE=30°，又∠CBD=∠EDB，所以∠CBD=30°，就等于30°角的正切值．
点评：本题利用翻折前后图形全等的性质，矩形的对边平行、四个角都是直角的性质和勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．