Question

在△ABC中，AD是角平分线，AE是高线
①如图1所示，∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠DAE．
②如图2所示，∠ABC=30°，∠ACB=110°，求∠DAE．
③根据①、②两题的计算结果，请猜想∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的关系．（用等式表示出来）

Answer 1

分析：①根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠EAC，即可求出答案；
②根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠EAC，即可求出答案；
③根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠EAC，即可求出答案．

解答：解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×70°=35°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠EAC=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-20°=15°．

②∵∠ABC=30°，∠ACB=110°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×40°=20°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=110°，
∴∠EAC=∠ACB-∠AEC=110°-90°=20°，
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=20°+20°=40°．

③∠DAE=

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC，理由如下：
分为两种情况：如图1，
∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB），
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=

1

2

[180°-（∠ABC+∠ACB）]=90°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠ACB，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=（90°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB）-（90°-∠ACB）=

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC；
如图2，
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=∠ACB-∠AEC=∠ACB-90°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAD=90°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB+∠ACB-90°=

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC．

点评：本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，求解过程类似．