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如图,以A为顶点的抛物线与y轴交于点B、已知A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设M(m,n)是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M的坐标;
(3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P,PA2+PB2+PM2>28是否总成立?请说明理由.
(1)设y=a(x-3)2
把B(0,4)代入,
得a=
4
9

∴y=
4
9
(x-3)2

(2)解法一:
∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数,其中有3、4,
∴可能的情况有三种:1、2、3、4;2、3、4、5;3、4、5、6,
∵M点位于对称轴右侧,且m,n为正整数,
∴m是大于或等于4的正整数,
∴MB≥4,
∵AO=3,OB=4,
∴MB只有两种可能,∴MB=5或MB=6,
当m=4时,n=
4
9
(4-3)2=
4
9
(不是整数,舍去);
当m=5时,n=
16
9
(不是整数,舍去);
当m=6时,n=4,MB=6;
当m≥7时,MB>6;
因此,只有一种可能,即当点M的坐标为(6,4)时,MB=6,MA=5,
四边形OAMB的四条边长分别为3、4、5、6.
解法二:
∵m,n为正整数,n=
4
9
(m-3)2
∴(m-3)2应该是9的倍数,
∴m是3的倍数,
又∵m>3,
∴m=6,9,12,
当m=6时,n=4,
此时,MA=5,MB=6,
∴当m≥9时,MB>6,
∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数,
∴点M的坐标只有一种可能(6,4).

(3)设P(3,t),MB与对称轴交点为D,
则PA=|t|,PD=|4-t|,PM2=PB2=(4-t)2+9,
∴PA2+PB2+PM2=t2+2[(4-t)2+9]
=3t2-16t+50
=3(t-
8
3
2+
86
3

∴当t=
8
3
时,PA2+PB2+PM2有最小值
86
3

∴PA2+PB2+PM2>28总是成立.
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线m:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在左),与y轴交于点C,顶点为M,抛物线上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表:
x-2023
y5-3-30
(1)根据表中的各对对应值,请写出三条与上述抛物线m有关(不能直接出现表中各对对应值)的不同类型的正确结论;
(2)若将抛物线m,绕原点O顺时针旋转180°,试写出旋转后抛物线n的解析式,并在坐标系中画出抛物线m、n的草图;
(3)若抛物线n的顶点为N,与x轴的交点为E、F(点E、F分别与点A、B对应),试问四边形NFMB是何种特殊四边形?并说明其理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知两直线l1,l2分别经过点A(3,0),点B(-1,0),并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点D,如图所示.
(1)求证:△AOC△COB;
(2)求出抛物线的函数解析式;
(3)当直线l1绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°)时,它与抛物线的另一个交点为P(x,y),求四边形APCB面积S关于x的函数解析式,并求S的最大值;
(4)当直线l1绕点C旋转时,它与抛物线的另一个交点为E,请找出使△ECD为等腰三角形的点E,并求出点E的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四边形ABCD是正方形,已知A(5,4),B(10,4):
(1)求点C、D的坐标;
(2)若一次函数y=kx+3(k≠0)的图象过C点,求k的值;
(3)在(2)的条件下,①若将直线l:y=kx+3向下平移a个单位,将正方形分为上下两部分的面积比为7:3,试求出a的值;②若将直线l:y=kx+3平移后与以A为圆心,AC为半径的圆相切,直接写出平移后的直线的解析式.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)两点.
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)若有一半径为r的⊙P,且圆心P在抛物线上运动,当⊙P与两坐标轴都相切时,求半径r的值.
(3)半径为1的⊙P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P与y轴相离、相交?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

数学家们通过长期的研究,得到了关于“等周问题”的重要结论:在周长相同的所有封闭平面曲线中,以圆所围成的面积最大.
“等周问题”虽然较为繁杂,但其根本思想基于下面2个事实:
事实1:等周长n边形的面积,当图形为正n边形时,其面积最大;
事实2:等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.
为了理解这些事实的合理性,曙光数学小组走出校门展开了下列课题研究.请你帮助他们解决其中的一些问题.
现有长度为100m的篱笆(可弯曲围成一个区域).
(1)如果用篱笆围成一个长方形鸡场,怎样围才能使鸡场的面积最大?为什么?
(2)如果用篱笆围成一个正五边形鸡场,那么与(1)中的正方形鸡场比较,哪个面积更大?请在事实1的基础上证明事实2:“等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.”
(3)利用事实1和事实2,请对“等周问题”的重要结论作出较为合理的解释.
(4)爱动脑筋的小明提出一个问题:如果借用一条充分长的直墙,将篱笆围成一个四边形鸡场,为了使鸡场的面积尽量大,所围成的长方形鸡场的长是宽的2倍(如图).你觉得他讲的是否有道理?你有没有更好的方法,使围成的四边形鸡场的面积更大?如果有,请说明你的方法.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤11).
(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为______元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元.
(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?
注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=-
1
5
x2+3.5运行,然后准确落入篮框内.已知篮框的中心离地面的距离为3.05米.
(1)球在空中运行的最大高度为多少米?
(2)如果该运动员跳投时,球出手离地面的高度为2.25米,请问他距离篮框中心的水平距离是多少?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底120米,下底180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.
(1)用含x的式子表示横向甬道的面积;
(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽;
(3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

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