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    （2013•高淳县二模）如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿射线OA运动，点Q以每秒1个单位的速度沿线段BC运动，当点Q运动到C点时，P、Q同时停止运动，动点P、Q运动时间为t秒．设线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥OA交AB于点E，射线QE交x轴于点F．
    （1）当t为何值时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形？
    （2）设以P、A、E、Q为顶点的四边形面积为S，求S关于运动时间t的函数关系式，并求出S的最大值；
    （3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？
    分析：（1）当且仅当PA=QB时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用t分别表示出PA和QB的长，即可得到关于t的方程，从而求解；
    （2）过点Q作QG⊥xZHOU，垂足是G，过点E作EH⊥x轴，垂足是H，则QG=12．当0≤t≤
    13
    3
    时，根据S=S△QPF-S△AEF，利用平行线分线段成比例定理表示出AF、EH的长，则可以得到函数解析式；当
    13
    3
    ＜t≤11时，S=S△QAF-S△EPF，类似上面的情况即可写出函数解析式，根据函数解析式的性质即可求得最大值；
    （3）当QP=FQ时，则GP=GF，可以得到关于t的方程求得t的值；
    当PQ=FP，则PQ2=FP2．在Rt△PGQ中利用勾股定理即可求解；
    当FQ=FP时，有FQ2=FP2，在Rt△FGQ中利用勾股定理即可列方程，解方程求解．
    解答：解：（1）由已知QB=t（0≤t≤11），OP=3t，则0≤t≤
    13
    3
    时，PA=13-3t；
    当
    13
    3
    ＜t≤11时，PA=3t-13．
    ∵OA∥BC，
    ∴当且仅当PA=QB时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形．
    ∴13-3t=t或3t-13=t，解得：t=
    13
    4
    或
    13
    2
    ；

    （2）过点Q作QG⊥x轴，垂足是G，过点E作EH⊥x轴，垂足是H，则QG=12．
    ①当0≤t≤
    13
    3
    时，S=S△QPF-S△AEF，
    ∵BC∥OA，DE∥OA，
    ∴
    QB
    AF
    =
    QE
    EF
    =
    QD
    DP
    =
    QB
    OP
    =
    t
    3t
    =
    1
    3
    ．
    故
    EH
    QG
    =
    EF
    FQ
    =
    EF
    EF+EQ
    =
    3
    4
    ．
    ∴AF=3QB=3t，EH=
    3
    4
    QG=
    3
    4
    ×12=9．
    ∴PF=OA+AF-OP=13+3t-3t=13．
    ∴S=
    1
    2
    PF•QG-
    1
    2
    AF•EH=
    1
    2
    ×13×12-
    1
    2
    ×3t×9=78-13.5t．
    ②当
    13
    3
    ＜t≤11时，S=S△QAF-S△EPF，
    同①，类似有；AF=3t，PF=13，EH=9，
    ∴S=
    1
    2
    AF•QG-
    1
    2
    PF•EH=
    1
    2
    ×3t×12-
    1
    2
    ×13×9=18t-58.5．
    由①②得：当t=11时，S=18×11-58.5=139.5是最大值；

    （3）①若QP=FQ，则GP=GF，
    ∵GP=OG-OP=（11-t）-3t=11-4t，
    GF=OF-OG=（3t+13）-（11-t）=2+4t，
    ∴11-4t=2+4t，即t=
    9
    8
    ；
    ②若PQ=FP，则PQ2=FP2．
    在Rt△PGQ中，PQ2=PG2+QG2=（11-t-3t）2+122，
    ∴（11-4t）2+122=132，解得：t=4或
    3
    2
    ．
    ③若FQ=FP，则FQ2=FP2，
    在Rt△FGQ中，FQ2=FG2+QG2=（13+3t-11-t）2+122，
    ∴（2+4t）2+122=132，解得：t=
    3
    4
    或-
    7
    4
    （舍去）．
    综上可知，t=
    9
    8
    或4或
    3
    2
    或
    3
    4
    时，△PQF是等腰三角形．
    点评：本题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，正确利用方程思想是关键．
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    4
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    2
    		5
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