Question

如图，PA与PB切⊙O于A、B，C为优弧

AB

上一点，连接BC，作PD∥AC交BC于D．
（1）求证：点D、A、O、P、B共圆；
（2）求证：D为弦MN中点．

Answer 1

考点：四点共圆,平行线的性质,垂径定理,圆周角定理,切线长定理

专题：证明题

分析：（1）连接OA、OB、OP，根据切线的性质、切线长定理及平行线的性质可证到∠PDB=∠POB，从而可得P、B、D、O四点共圆，由∠PAO+∠PBO=180°可得P、B、O、A四点共圆，就可得到D、A、O、P、B共圆．
（2）由P、B、D、O四点共圆可得∠ODP=∠OBP=90°，即OD⊥MN，根据垂径定理就可得到D为弦MN中点．

解答：证明：（1）连接OA、OB、OP，如图所示．
∵PA、PB是圆的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO=∠BPO，
∴∠AOP=∠POB．
∵∠C=

1

2

∠AOB，
∴∠C=∠POB
∵PD∥AC，
∴∠C=∠PDB，
∴∠PDB=∠POB，
∴P、B、D、O四点共圆．
∵∠PAO+∠PBO=180°，
∴P、B、O、A四点共圆，
∴D、A、O、P、B共圆．

（2）∵P、B、D、O四点共圆，
∴∠ODP=∠OBP=90°，
∴OD⊥MN，
∴DN=DM，即D为弦MN中点．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、切线长定理、圆周角定理、垂径定理、平行线的性质等知识，掌握四点共圆的判定方法（判定1：若线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆；判定2：若四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角，则这四点共圆）是解决本题的关键．