Question

【题目】已知如图，直线y=﹣ x+4 与x轴相交于点A，与直线y= x相交于点P．

（1）求点P的坐标；

（2）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时， F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．直接写出： S与a之间的函数关系式

（3）若点M在直线OP上，在平面内是否存在一点Q,使以A，P,M，Q为顶点的四边形为矩形且满足矩形两边AP:PM之比为1: 若存在直接写出Q点坐标。若不存在请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）； (2)；（3）

【解析】

（1）联立两直线解析式，求出交点P坐标即可；

（2）由F坐标确定出OF的长，得到E的横坐标为a，代入直线OP解析式表示出E纵坐标，即为EF的长，分两种情况考虑：当时，矩形EBOF与三角形OPA重叠部分为直角三角形OEF，表示出三角形OEF面积S与a的函数关系式；当时，重合部分为直角梯形面积，求出S与a函数关系式.

（3）根据（1）所求，先求得A点坐标,再确定AP和PM的长度分别是2和2，又由OP=2，得到P怎么平移会得到M，按同样的方法平移A即可得到Q.

解：（1）联立得：，解得：；

∴P的坐标为；

（2）分两种情况考虑：

当时，由F坐标为（a，0），得到OF=a，

把E横坐标为a，代入得：即

此时

当时，重合的面积就是梯形面积，

F点的横坐标为a，所以E点纵坐标为

M点横坐标为：-3a+12，

∴

所以；

（3）令中的y=0，解得：x=4，则A的坐标为（4,0）

则AP= ,则PM=2

又∵OP=

∴点P向左平移3个单位在向下平移可以得到M1

点P向右平移3个单位在向上平移可以得到M2

∴A向左平移3个单位在向下平移可以得到 Q1(1,-)

A向右平移3个单位在向上平移可以得到 Q1(7,)

所以，存在Q点，且坐标是