Question

【题目】在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB<AC，M 是 BC 边的中点，MN⊥BC交 AC 于点 N，动点 P 在线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动．同时， 动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向点 C 运动，且始终保持 MQ⊥MP． 一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为 t 秒(t>0)．

(1)△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由；

(2)若∠ABC＝60°，AB＝4 cm．

①求动点 Q 的运动速度；

②设△APQ 的面积为 s(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式．（不必写出 t 的取值范围）

(3)探求 BP、PQ、CQ 三者之间的数量关系，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）①v=1;②S= (3)

【解析】

（1）由条件可以得出∠BMP=∠NMQ，∠B=∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM；
（2）①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值，再由△PBM∽△QNM就可以求出Q的运动速度；
②先由条件表示出AN、AP和AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式；
（3）延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，就可以得出四边形BDCQ为平行四边形，再由勾股定理和中垂线的性质就可以得出PQ2=CQ2+BP2．

解：（1）△PBM∽△QNM．
理由：
∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
∴∠B=∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8cm．AC=12cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4cm．
∵∠C=30°，
∴MN=CM=4cm．
①设Q点的运动速度为v（cm/s）．
∵△PBM∽△QNM．
∴，
∴，
∴v=1，
答：Q点的运动速度为1cm/s．

②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴AP=4-t，AQ=4+t，
∴S=APAQ=（4-t）（4+t）=-t2+8．（0＜t≤4）
当t＞4时，AP=-t+4=（4-t）．
则△APQ的面积为：S=APAQ=（-t+4）（4+t）=t2-8

（3）PQ2=CQ2+BP2．
理由：延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，

∵M是BC边的中点，
∴BM=CM，
∴四边形BDCQ是平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ．
∴∠BAC+∠ABD=180°．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD2=BP2+BD2，
∴PD2=BP2+CQ2．
∵MQ⊥MP，MQ=MD，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．