Question

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°，从而得证结论正确；
②根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；
③由②的结论，等量代换即可；
④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=$\frac{1}{2}$AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论．

解答 解：∵∠CAD=30°，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECA=165°，①正确；
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，③正确；
∵BC=AD，
∴BE=BC，②正确；
过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°-∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC-∠ACD=15°，
在△CMD和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠CND}\\{∠MDC=∠NCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．∴④正确，
故选：D．

点评 此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握．