【题目】如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1、L2称为“伴随抛物线”,可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条.
(1)抛物线L1:y=-x2+4x-3与抛物线L2是“伴随抛物线”,且抛物线L2的顶点B的横坐标为4,求抛物线L2的表达式;
(2)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由;
(3)在图②中,已知抛物线L1:y=mx2-2mx-3m(m>0)与y轴相交于点C,它的一条“伴随抛物线”为L2,抛物线L2与y轴相交于点D,若CD=4m,求抛物线L2的对称轴.
【答案】(1)y=(x-4)2-3(2)伴随抛物线的顶点不重合,∴m≠h,∴a1=-a2(3)抛物线L2的对称轴为x=±2.
【解析】试题分析:(1)先分别求得点A、点B的坐标,然后再利用待定系数法进行求解即可;
(2)根据:抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,可以列出两个方程,相加可得:(a1+a2 )(m-h)2=0,可得a1=-a2;
(3)易得抛物线L1的顶点坐标为(1,-4m),设抛物线L2的顶点的横坐标为h,则其纵坐标为mh2-2mh-3m,则有抛物线L2的表达式为y=-mx2+2mhx-2mh-3m,从而得点D的坐标为(0,-2mh-3m),再根据点C的坐标为(0,-3m),从而可得|(-2mh-3m)-(-3m)|=4m,解得h=±2,从而得抛物线L2的对称轴为x=±2.
试题解析:(1)由y=-x2+4x-3可得A的坐标为(2,1),
将x=4代入y=-x2+4x-3,得y=-3,∴B的坐标为(4,-3),
设抛物线L2的解析式为y=a(x-4)2-3; 将(2,1)代入y=a(x-4)2-3,
得1=a(2-4)2-3,解得a=1,
∴抛物线L2的表达式为y=(x-4)2-3;
(2)a1=-a2,理由如下:
∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B在抛物线L1上,
∴可列方程组: ,
整理,得(a1+a2)(m-h)2=0,
∵伴随抛物线的顶点不重合,∴m≠h,∴a1=-a2;
(3)抛物线L1:y=mx2-2mx-3m的顶点坐标为(1,-4m),
设抛物线L2的顶点的横坐标为h,则其纵坐标为mh2-2mh-3m,
∴抛物线L2的表达式为y=-m(x-h)2+mh2-2mh-3m,
化简得,y=-mx2+2mhx-2mh-3m,
所以点D的坐标为(0,-2mh-3m),
又点C的坐标为(0,-3m),
可得|(-2mh-3m)-(-3m)|=4m, 解得h=±2,
∴抛物线L2的对称轴为x=±2.
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【题目】“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
[来
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为小时,租用甲公司的车所需费用为元,租用乙公司的车所需费用为元,分别求出,关于的函数表达式;
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。
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【题目】下列条件:①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠A′=45°,A′B′=16,A′C′=20;②∠A=47°,AB=1.5,AC=2,∠B′=47°,A′B′=2.8,B′C′=2.1;③∠A=47°,AB=2,AC=3,∠B′=47°,A′B′=4,B′C′=6,其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有 ( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,点E是AB上一点,直线CE交⊙O于点F,连接BF与直线CD延长线交于点G.求证:BC2=BG·BF.
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【题目】甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数(每次只能写一个数),规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数,最后不能写的为失败者,如果甲写第一个,那么,甲写数字( )时有必胜的策略.
A. 10 B. 9 C. 8D.6
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【题目】小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则是:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛.
(1)用列表法或画树状图法,求小丽参赛的概率.
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+1交x轴于点B,交y轴于点A,过点A作AB1⊥AB交x轴于点B1,过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去,则点Bn的横坐标为_____.
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