【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G.点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)D,F两点间的距离是 ;
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值.若不能,说明理由;
(3)当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
(4)连结PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值.
【答案】(1)25;(2)能,t=;(3),;(4)和
【解析】
(1)根据中位线的性质求解即可;
(2)能,连结,过点作于点,由四边形为矩形,可知过的中点时,把矩形分为面积相等的两部分,此时,通过证明,可得,再根据即求出t的值;
(3)分两种情况:①当点在上时;②当点在上时,根据相似的性质、线段的和差关系列出方程求解即可;
(4)(注:判断可分为以下几种情形:当时,点下行,点上行,可知其中存在的时刻;此后,点继续上行到点时,,而点却在下行到点再沿上行,发现点在上运动时不存在;当时,点,均在上,也不存在;由于点比点先到达点并继续沿下行,所以在中存在的时刻;当时,点,均在上,不存在.
解:(1)∵D, F分别是AC, BC的中点
∴DF是△ABC的中位线
∴
(2)能.
连结,过点作于点.
由四边形为矩形,可知过的中点时,
把矩形分为面积相等的两部分.
(注:可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明),
此时.
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵F是BC的中点
∴
∴.
故.
(3)①当点在上时,如图1.
,,
由,得.
∴.
②当点在上时,如图2.
已知,从而,
由,,得.
解得.
(4)和.
(注:判断可分为以下几种情形:当时,点下行,点上行,可知其中存在的时刻;此后,点继续上行到点时,,而点却在下行到点再沿上行,发现点在上运动时不存在;当时,点,均在上,也不存在;由于点比点先到达点并继续沿下行,所以在中存在的时刻;当时,点,均在上,不存在.)
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【题目】图1,图2是两张形状、大小完全相同的6×6方格纸,方格纸中的每个小长方形的边长为1,所求的图形各顶点也在格点上.
(1)在图1中画一个以点,为顶点的菱形(不是正方形),并求菱形周长;
(2)在图2中画一个以点为所画的平行四边形对角线交点,且面积为6,求此平行四边形周长.
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【题目】如图,在边长为 2a 的等边△ABC 中,M 是高 CH 所在直线上的一个动点, 连接 BM,将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接 HN,则在点 M 运动的过程中,线段 BN 长度的最小值为___________ .
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【题目】有3个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,放在一个口袋中,随机地摸出一个小球不放回,再随机地摸出一个小球.
(1) 采用树形图法(或列表法)列出两次摸球出现的所有可能结果;
(2) 求摸出的两个球号码之和等于5的概率.
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【题目】某小区积极创建环保示范社区,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,已知温馨提示牌的单价为每个30元,垃圾箱的单价为每个90元,共需购买温馨提示牌和垃圾箱共100个.
(1)若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为1:4,求所需的购买费用;
(2)若该小区至多安放48个温馨提示牌,且费用不超过6300元,请列举所有购买方案,并说明理由.
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【题目】小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上,依横坐标找到三点(-1,y1),(,y2), (-3,y3),则你认为y1,y2,y3的大小关系应为( )
A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1
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【题目】如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,点D的对称点F恰好落在BC上,已知折痕AE=10cm,且tan∠EFC=,那么该矩形的周长为( )
A. 72cm B. 36cm C. 20cm D. 16cm
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【题目】△ABC中,点O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠DCA的平分线于点F,连接AE、AF.
⑴说明:OE=OF
⑵当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,证明你的结论
⑶在⑵的条件下,当⊿ABC满足什么条件时,四边形AECF为正方形.
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