Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1）抛物线y=x²对应的碟宽为　 　；抛物线y=4x²对应的碟宽为　 　；抛物线y=ax²（a＞0）对应的碟宽为　　；抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）对应的碟宽为　　；
（2）抛物线y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的对应准蝶形记为F_n（n=1，2，3…），定义F₁，F₂，…，F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n﹣1的相似比为，且F_n的碟顶是F_n﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．
①求抛物线y₂的表达式；
②若F₁的碟高为h₁，F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n，则h_n=　　，F_n的碟宽有端点横坐标为　2　；F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）4；1；；．

试题分析：（1）根据定义可算出y=ax²（a＞0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线可通过平移y=ax²（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．
（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值．
（3）①根据y₁，容易得到y₂．
②结合画图，易知h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直线x=2上，可以考虑h_n∥h_n﹣1，且都过F_n﹣1的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可．
试题解析：（1）4；1；；．
∵a＞0，
∴y=ax²的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=-y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（﹣，），B（，），C（0，），
∴AB=，OC=，
即y=ax²的碟宽为．
①抛物线y=x²对应的a=，得碟宽为4；
②抛物线y=4x²对应的a=4，得碟宽为为；
③抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为；
④抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）可看成y=ax²向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）的准碟形与抛物线y=ax²的准碟形全等，
∵抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为，
∴抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0），碟宽为．
（2）∵y=ax²﹣4ax﹣，
∴由（1），其碟宽为，
∵y=ax²﹣4ax﹣的碟宽为6，
∴=6，
解得A=，
∴y=x²﹣x﹣=（x﹣2）²﹣3
（3）①∵F₁的碟宽：F₂的碟宽=2：1，
∴=，
∵a₁=，
∴a₂=．
∵y=（x﹣2）²﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴F₂的碟顶坐标为（2，0），
∴y₂=（x﹣2）²．
②∵F_n的准碟形为等腰直角三角形，
∴F_n的碟宽为2h_n，
∵2h_n：2h_n﹣1=1：2，
∴h_n=h_n﹣1=（）²h_n﹣2=（）³h_n﹣3=…=（）ⁿ⁺¹h₁，
∵h₁=3，
∴h_n=．
∵h_n∥h_n﹣1，且都过F_n﹣1的碟宽中点，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在一条直线上，
∵h₁在直线x=2上，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直线x=2上，
∴F_n的碟宽右端点横坐标为2+．
另，F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．
分析如下：
考虑F_n﹣2，F_n﹣1，F_n情形，关系如图2，

F_n﹣2，F_n﹣1，F_n的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，
∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都过E点，
∴HE，EB在一条直线上，
∴F_n﹣2，F_n﹣1，F_n的碟宽的右端点是在一条直线，
∴F₁，F₂，…，F_n的碟宽的右端点是在一条直线．
∵F₁：y₁=（x﹣2）²﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），
F₂：y₂=（x﹣2）²准碟形右端点坐标为（2+，），
∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，
∴F₁，F₂，…，F_n的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．