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    9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x、y交与点A，B、C．其中B（-1，0），C（0，4），对称轴是直线x=-$\frac{3}{2}$，点D为顶点．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）求点A、D的坐标；
    （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P（-$\frac{3}{2}$，t）其中0＜t＜6，使得△PAC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
    （4）在（3）的条件下，若存在点P，△PAC与△OAC是否有重叠部分？若有，直接写出重叠部分的面积．

    分析 （1）设抛物线的函数表达式是y=ax2+bx+c（a≠0），根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{a+b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，求解即可；
    （2）由-x2-3x+4=0得出则点A的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可；
    （3）当0＜t＜6时，过点O作OM⊥AC于M，交对称轴与点P，求出NP=OP=t=$\frac{3}{2}$，当AP=AC时，求出AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，AP=4$\sqrt{2}$，再根据NP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{N}^{2}}$即可求出t；
    （4）在（3）的条件下，根据△PAC与△OAC重叠部分的面积=S△PAC=S△OAC-S△PAN-S梯形PNOC代入计算即可．

    解答 解：（1）设抛物线的函数表达式是y=ax2+bx+c（a≠0），根据题意得：
    $\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{a+b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
    则抛物线的函数表达式是y=-x2-3x+4，
    （2）由-x2-3x+4=0得；x1=-4，x2=1，
    则点A的坐标是（-4，0），
    ∵$\frac{4×（-1）×4-（-3）^{2}}{4×（-1）}$=$\frac{25}{4}$，
    ∴点D的坐标是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）
    （3）当0＜t＜6时，
    如图1，过点O作OM⊥AC于M，交对称轴与点P，
    ∵OA=OC，
    ∴PA=PC，∠AOP=45°，
    ∴NP=OP=$\frac{3}{2}$，
    ∴t=$\frac{3}{2}$，
    如图2，
    当AP=AC时，
    ∵AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
    ∴AP=4$\sqrt{2}$，
    ∴NP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{32-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{103}}{2}$，
    ∴t=$\frac{\sqrt{103}}{2}$；

    （4）在（3）的条件下，
    如图1，
    △PAC与△OAC有重叠部分，
    重叠部分的面积=S△PAC=S△OAC-S△PAN-S梯形PNOC=$\frac{1}{2}$×OA•OC-$\frac{1}{2}$×AN•PN-$\frac{1}{2}$×（PN+CO）×NO=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+4）×$\frac{3}{2}$=2，
    如图2，
    △PAC与△OAC没有重叠部分．

    点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、勾股定理、等腰直角三角形等，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论．

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    （1）请直接写出BD=20；AB=13；
    （2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
    （3）是否存在时刻t，使得点P、Q关于BD对称？若存在，请你直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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    例如：由于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}$．
    完成解答：
    ①类比上面推理将累加式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$化简为1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
    ②利用上面的解题方法化简累加式1+2+22+23+24+A+2n=2n+1-1；
    ③化简累加式：$\frac{5}{2}+\frac{17}{4}+\frac{65}{8}+\frac{257}{16}+…+\frac{（2n）^{2}+1}{{{2}^{n}}_{\;}}$=2n+1-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

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    18．如图，经过点A（-1，0），C（0，-2）的抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
    （1）求此抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
    （2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
    （3）在（1）的结论下，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

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             运往地
    车 型    		甲 地（元/辆）乙 地（元/辆）
    大货车720800
    小货车500650
    （1）求这两种货车各用多少辆？
    （2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的
    总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
    （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

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