Question

19．在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN．
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值；
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）①根据菱形的性质和全等三角形的判定定理证明；
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H，根据正弦的定义求出MH得到点M到AD的距离，根据正切的定义求出tan∠MDH，根据全等三角形的性质，等量代换即可；
（2）分ND=ND、DN=DA、AD=AN三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．

解答 （1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠DAC=∠BAC，
在△ABN和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAN=∠DAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADN；
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵AD∥BC，
∴∠MAH=∠ABC=60°，
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2$\sqrt{3}$，
∴点M到AD的距离为2$\sqrt{3}$；
AH=$\frac{1}{2}$AM=2，
∴DH=6+2=8，
在Rt△DMH中，tan∠MDH=$\frac{MH}{DH}$=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
故tanα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，则∠CAD=45°．
分三种情形：
若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°，
点M恰好与点B重合，
∴x=6，
若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°，
则点M恰好与点C重合，
∴x=12；
若AN=AD=6，则∠ADN=∠AND，
由AD∥BC，得∠ADN=∠CMN，又∠AND=∠CNM，
∴∠CNM=∠CMN，
∴CM=CN，
∵AC=6$\sqrt{2}$，
∴CM=CN=AC-AN=6$\sqrt{2}$-6，
故x=12-CM=12-（6$\sqrt{2}$-6）=18-6$\sqrt{2}$，
综上所述：当x=6或12 或18-6$\sqrt{2}$时，△ADN是等腰三角形．

点评 本题考查的是菱形的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．