Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2，O)、B(2，0)、C(0，-l)三点，过坐标原点0的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C,D(0，-2)作平行于x轴的直线．

    (1)求抛物线对应二次函数的解析式；

    (2)求证以ON为直径的圆与直线相切；

    (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．

Answer 1

    解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，

由  解得

 所以．………………………………………………………3分

    (2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，因为点M、N在抛物线上，

    所以，所以x₂²=4(y₂+1)；

    又ON²=x₂²+y₂²=4(y₂+1)+y₂²=(y₂+2)²，所以ON=，又因为y₂≥-l，

     所以0N=2+y₂．………………………………………5分

    设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F，

    则 ，

    所以ON=2EF，

    即ON的中点到直线，的距离等于0N长度的一半，

    所以以ON为直径的圆与相切．………………………………………7分

(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H，则MN²=MH²+NH²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)，

又y₁=kx₁,y₂=kx₂，所以（y₂-y₁)²=k²(x₂-x₁)²

所以MN²=(1+k²)(x₂一x_l)²；

又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，

所以，即x²-4kx-4=0，

所以，

所以(x₂-x₁)²=16(1+k²)，

所以MN²=16(1+k²)²，∴MN=4(1+k²)…9分

延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，

则MS+NQ=y₁+2+y₂+2=

    又x₁²+x₂²=2[4k²+4(1+k²)]=16k²+8，

    所以MS+NQ=4k²+2+2=4(1+k²)=MN

    即M、N两点到距离之和等于线段MN的长．……………………ll分