Question

20．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的点，PA垂直x轴于点A，连接PB并延长交x轴于点C，则点C的坐标为（1，0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据PA∥BO以及OA=OC可得出OB为△CPA的中位线，从而找出点P的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出结论；
（2）分点M在函数图象的象限不同来考虑：①M在第四象限时，延长PC交反比例函数图象于点E，由点B的坐标设出直线PC的解析式，根据点P的坐标利用待定系数法即可得出直线PC的解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组求出点E的横坐标即可得出结论；②点M在第二象限时，作C关于AB的对称点C′，连接BC′交反比例函数图象于点F，连接CC′交AB于点D，根据三角形相似找出点D坐标，从而得出点C′的坐标，利用待定系数法求出直线BC′的解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组求出交点F（两交点中右边的那个点）的横坐标即可得出结论．综上此题得解．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（1，0），
∴OC=OA，
∵PA⊥x轴，
∴PA∥OB，
∴OB为△CPA的中位线，
∵点B（0，2），
∴PA=2OB=4，
∴点P的坐标为（-1，4），
∵点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的点，
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{4}{x}$．
（2）分点M在函数图象的象限不同来考虑：
①M在第四象限时，延长PC交反比例函数图象于点E，如图1所示．
设直线PC的解析式为y=kx+2，
则4=-k+2，解得：k=-2，
∴直线PC的解析式为y=-2x+2．
联立直线PC与反比例函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点E（2，-2），
∴0＜a＜2；
②点M在第二象限时，作C关于AB的对称点C′，连接BC′交反比例函数图象于点F，连接CC′交AB于点D，如图2所示．
∵CD⊥AB，BO⊥AC，
∴△CAD∽△BAO，
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{AC}{AB}$．
∵点A（-1，0），C（1，0），B（0，2），
∴AC=2，AB=$\sqrt{5}$，AO=1，
∴AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴点D（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∵点D为线段CC′的中点，C（1，0），
∴C′（-$\frac{11}{5}$，$\frac{8}{5}$）．
设直线BC′的解析式为y=mx+2，
则$\frac{8}{5}$=-$\frac{11}{5}$m+2，解得：m=$\frac{2}{11}$，
∴直线BC′的解析式为y=$\frac{2}{11}$x+2．
联立BC′与反比例函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{11}x+2}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=$\frac{-11-\sqrt{33}}{2}$，x₂=$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$，
∴点F的横坐标为$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$，
∴a＜$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$．
综上得：若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围为a＜$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$或0＜a＜2．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形中位线的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）求出点P的坐标；（2）分点M的象限不同分情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标根据待定系数法找出直线的解析式，再联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标是关键．