Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于点E．
（1）判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；
（2）连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．

Answer 1

分析：（1）△ABP与△PCE相似，根据矩形的性质和相似三角形的判定方法证明即可；
（2）由（1）可知△ABP与△PCE相似，所以

AB

PC

=

BP

CE

，即

PC

CE

=

AB

BP

，又因为PE∥BD，

CP

CB

=

CE

CD

，即

PC

CE

=

CB

CD

，所以

AB

BP

=

CB

CD

，利用已知数据即可求出BP的长．

解答：解：（1）△ABP与△PCE相似．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE；

（2）由（1）得△ABP∽△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

，即

PC

CE

=

AB

BP

，
∵PE∥BD，
∴

CP

CB

=

CE

CD

，即

PC

CE

=

CB

CD

，
∴

AB

BP

=

CB

CD

，
∵AB=CD=2，BC=AD=3，
∴BP=

AB•CD

CB

=

4

3

．

点评：本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及比例式的性质，题目难度中等．