Question

19．如图，直线y=-x+m交x轴于点A、交y轴于点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限交于C、D两点，若AC•BC=6，则k=3．

Answer 1

分析 过C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，令直线方程中x=0，求出y的值，即为点B的纵坐标，得出OB的长，令y=0求出x的值，即为A的横坐标，确定出OA的长，由FC与OA平行，利用平行线得比例列出比例式，根据OA=OB，得出CF=FB，设C的坐标为（a，b），可得出FC=BF=a，在Rt△BFC中，根据勾股定理得：BC²=BF²+CF²=2a²，在Rt△CEA中，根据勾股定理得：AC²=CE²+AE²=b²+（m-a）²，再把C的坐标代入直线方程，表示出m-a=b，即为AE的长，代入AC的平方，整理后开方求出AC•BC的值，代入已知AC•BC=6中，求出ab的值，又C在反比例函数图象上，可得出k=ab，由ab的值可得出k的值．

解答 解：过C分别作x轴和y轴的垂线，E，F分别为垂足，如图，
对于y=-x+m，令x=0，y=m；令y=0，x=m，
∴B（0，m），A（m，0），即OA=m，Om=m，
∵CF∥OA，
∴BF：OB=CF：OA，又OA=OB，
∴CF=BF，
设C（a，b），a＞0，b＞0，则BF=a，CF=a，
∴在Rt△BFC中，根据勾股定理得：BC²=BF²+CF²=2a²，
在Rt△CEA中，CE=b，AE=OA-OE=OA-FC=m-a，
根据勾股定理得：AC²=CE²+AE²=b²+（m-a）²，
而C点在直线y=-x+m上，
∴b=-a+m，即m-a=b，
∴AC²=b²+b²=2b²，
又AC•BC=6，且a＞0，b＞0，
∴2b²•2a²=36，即a•b=3，
∵点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=a•b=3．
故答案为：3．

点评 此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：平行线的性质，勾股定理，代数式的变形，线段长度与坐标的关系，以及一次函数与坐标轴的交点，其中作出辅助线BE、BF是本题的突破点．