Question

如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，-4），
（1）如图，若C的坐标为（-1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S_△BDM-S_△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

Answer 1

考点：角的计算,坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）利用坐标的特点，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出结论；
（2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，证出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分∠CHA，求得结论；
（3）连接OD，则OD⊥AB，证得△ODM≌△ADN，利用三角形的面积进一步解决问题．

解答：解（1）∵a=4，b=-4，则OA=OB=4．
∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP+∠OPA=∠BPH+∠OBC=90°，
∴∠OAP=∠OBC
在△OAP与△OBC中，

∠COB=∠POA=90° OA=OB ∠OAP=∠OBC

，
∴△OAP≌△OBC（ASA）
∴OP=OC=1，则P（0，-1）．

（2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，
在四边形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP．
在△COM与△PON中，

∠COM=∠PON ∠OMC=∠ONP=90° OC=OP

，
∴△COM≌△PON（AAS）
∴OM=ON
HO平分∠CHA，
∴∠OHP=

1

2

∠CHA=45°；

（3）S_△BDM-S_△ADN的值不发生改变．S_△BDM-S_△ADN=4．
连接OD，则OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，∠OAD=45°
∴OD=AD，
∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA
在△ODM与△ADN中，

∠MDO=∠NDA OD=OA ∠DOM=∠DAN=135°

，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S_△ODM=S_△ADN，
S_△BDM-S_△ADN=S_△BDM-S_△ODM=S_△BOD=

1

2

S_△AOB=

1

2

×

1

2

AO•BO=

1

2

×

1

2

×4×4=4．

点评：此题考查点的坐标特点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点；属于一个综合性题目．