Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD∥BC，∠CBE=

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∠ABE．求证：DE=2AB．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：欲证明DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与AB相等．

解答：证明：取ED的中点O，连接AO．
∵∠C=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠C=90°
∴OD=AO=OE=

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DE，
∴∠D=∠OAD，
∴∠AOE=∠D+∠OAD=2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠D，
∵∠CBE=

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2

∠ABE，
∴2∠CBE=∠ABE，
∴∠ABE=2∠D，
∴∠ABE=∠AOB，
即∠ABO=∠AOB，
∴AB=OA，
∴DE=2OA=2AB．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的判定与性质．“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题．