Question

如图，直线AB的解析式为y=，分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直与y轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C共有________次相切；直线l与⊙C最后一次相切时t=________．

Answer 1

3    
分析：首先过点C作CD⊥x轴于点D，由直线AB的解析式为y=，分别与x轴、y轴相交于B、A两点．即可求得点A与B的坐标，则可求得∠ABO的度数，得到BC=2CD；然后分别从直线l与⊙C第一次相切，第二次相切，第三次相切，去分析求解，即可求得答案．
解答：解：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵直线AB的解析式为y=，分别与x轴、y轴相交于B、A两点，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，
∴点A的坐标为：（0，6），点B的坐标为：（6，0），
∴OA=6，OB=6，
∴在Rt△AOB中，tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
∴在Rt△BCD中，BC=2CD，
如图1，直线直线l与⊙C第一次相切，
由题意得：OP=2t，BC=3t，
∴CD=2t-1，
∴3t=2（2t-1），
解得：t=2；
如图2，直线直线l与⊙C第二次相切，
由题意得：OP=6-（2t-6）=12-2t，BC=3t，
∴CD=12-2t-1，
∴3t=2（12-2t-1），
解得：t=；
如图3，直线直线l与⊙C第三次相切，
由题意得：OP=6-（2t-6）=12-2t，BC=3t，
∴CD=12-2t+1，
∴3t=2（12-2t+1），
解得：t=．
∴在整个运动过程中直线l与⊙C共有3次相切；直线l与⊙C最后一次相切时t=．
故答案为：3，．
点评：此题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．