Question

18．某Wi-Fi热点的信号覆盖区域是以这个Wi-Fi热点为圆心，r为半径的圆（包括圆的内部）；如图，矩形ABCD区域为某广场的平面示意图，其面积为9600m²；16个长25m，宽15m的展区排列在广场内，展区间纵向横向的每条路宽均相等．
（1）求展区间的每条路宽；
（2）若只固定一个Wi-Fi热点，便可覆盖广场中的所有位置，求r的最小值；
（3）当r为50m时，能否只固定两个这样的Wi-Fi热点，使得信号覆盖广场中的所有位置？请通过画图计算进行说明．（本题不考虑Wi-Fi热点的占地面积和展区对信号的干扰）．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的面积=长×宽列一元二次方程解答；
（2）根据勾股定理计算矩形区域的对角线，以矩形对角线的交点为圆心，对角线的一半为半径，便可覆盖广场中的所有位置；
（3）把原矩形分成两个矩形，运用（2）的方法解决．

解答 解：（1）设道路的宽为x米，根据题意列方程得：
（25×4+3x）（15×4+3x）=9600
整理得：
3x²+160x-1200=0
解得：x₁=$\frac{20}{3}$，x₂=-60（舍去）
答：展区间的每条路宽为$\frac{20}{3}$米；
（2）矩形ABCD区域的长AB=120m，宽AD=80m，
根据勾股定理可知对角线AC=BD=40$\sqrt{13}$，
所以以AC与BD的交点为圆心，以20$\sqrt{13}$为半径，便可覆盖广场中的所有位置，
所以r的最小值为：20$\sqrt{13}$m；
（3）如图所示，连接AB、CD的中点E、F，
∵AD=80m，AE=EB=60m，则AF=DE=EC=BF=100m，
∴以O1、O2为圆心，50m为半径的两个圆可以完全覆盖矩形ABCD，
故当r为50m时，能只固定两个这样的Wi-Fi热点，使得信号覆盖广场中的所有位置．

点评 本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及圆的有关性质，理解完全覆盖的意义是解决第2、3小题的关键．