Question

20．关于x的二次函数y=-（x-e）²+$\frac{1}{4}$中．e＞$\frac{1}{2}$是常数，其函数图象如图所示．点D是二次函数图象的顶点，DE⊥x轴，E是垂足．二次函数图象交x轴于点A、B（A在B左侧），交y轴于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标．（用e表示）；
（2）若以O、C、E为顶点的三角形与△DEB相似，求e的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式来求点A、B、C、D的坐标．（用e表示）；
（2）分类讨论：△OCE∽△EDB，△OEC∽△EDB，由相似三角形的对应边成比例来求e的值．

解答 解：（1）∵y=-（x-e）²+$\frac{1}{4}$，
∴顶点D（e，$\frac{1}{4}$）．
又y=-（x-e）²+$\frac{1}{4}$=-x²+2ex-e²+$\frac{1}{4}$，或y=-（x+$\frac{1}{2}$-e）（x-$\frac{1}{2}$-e）．
∴当x=0时，y=-e²+$\frac{1}{4}$，即C（0，-e²+$\frac{1}{4}$），A（e-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$+e，0）．
综上所述，A（e-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$+e，0），C（0，-e²+$\frac{1}{4}$），D（e，$\frac{1}{4}$）．

（2）∵由（1）知，A（e-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$+e，0），C（0，-e²+$\frac{1}{4}$），D（e，$\frac{1}{4}$）．则E（e，0）．
∴OC=e²-$\frac{1}{4}$，OE=e，DE=$\frac{1}{4}$，BE=$\frac{1}{2}$．
①当△OCE∽△EDB时，$\frac{OC}{DE}$=$\frac{OE}{EB}$．即$\frac{{e}^{2}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$=$\frac{e}{\frac{1}{2}}$，则e₁=$\frac{2+\sqrt{21}}{8}$，e₂=$\frac{2-\sqrt{21}}{8}$（舍去）；
②当△OEC∽△EDB时，$\frac{OE}{ED}$=$\frac{OC}{EB}$．即$\frac{e}{\frac{1}{4}}$=$\frac{{e}^{2}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$，则e₁=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$，e₂=$\frac{2-\sqrt{5}}{2}$（舍去）；
综上所述，e=$\frac{2+\sqrt{21}}{8}$或e=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$．

点评 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．