Question

13．如图，AB是半圆O的直径，C是$\widehat{AB}$的中点，D是$\widehat{AC}$的中点，AC与BD相交于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）求证：BE=2AD；
（3）求$\frac{DE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）D是$\widehat{AC}$的中点，由圆周角定理可知：∠ABD=∠CBD，所以BD平分∠ABC；
（2）延长BC与AD相交于点F，易证△BCE≌△ACF（ASA），从而可知BE=AF，在证明AB=BF，从而可证明BE=2AD；
（3）连接OD，交AC于H．设OH为1，则BC为2，OB=OD=$\sqrt{2}$，DH=$\sqrt{2}-1$，从而可知$\frac{DE}{BE}$=$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$

解答 解：（1）∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴由圆周角定理可知：∠ABD=∠CBD
∴BD平分∠ABC
（2）延长BC与AD相交于点F，
∵C是$\widehat{AB}$的中点，
∴AC=BC，
由（1）可知：∠FAC=∠CBE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在△BCE与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠FCA=∠BCE}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴BE=AF，
∵BD平分∠ABC，BD⊥AF，
∴AB=BF，
∴D是AF的中点，
∴BE=AF=2AD
（3）连接OD，交AC于H．
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴由垂径定理可知：OD⊥AC，
∵O是AB的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
设OH为1，则BC为2，
∴由勾股定理可知：AB=2$\sqrt{2}$
∴OB=OD=$\sqrt{2}$，
∴DH=$\sqrt{2}-1$，
∵OH∥BC，
∴△DEH∽△BCE
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DH}{BC}$
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，属于中等题型．