Question

20．已知，如图，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．
（1）求证：G为CD的中点；
（2）求证：AG=EG．

Answer 1

分析 （1）通过证△ECG≌△DCF得到CG=CF，结合已知条件知CG=$\frac{1}{2}$CD，即G为CD的中点．
（2）取AB中点为H，连接HG，根据三角形中位线定理解答即可．

解答 证明：（1）∵点F为CE的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CE
在△ECG与△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{∠C=∠C}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CG=CF=$\frac{1}{2}$CE．
又CE=CD，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD，
即G为CD的中点；
（2）取AB中点为H，连接HG，

则HG∥BC，
∴AE⊥HG，即AE⊥OG，
∵H为中点，HO∥BE，
∴O为AE的中点，
∴△AEG为等腰三角形，
∴AG=EG．

点评 本题考查了平行四边形性质，关键是根据全等三角形的性质和判定等知识点进行推理．