Question

如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点，
（1）求证：ME=MF；
（2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC=2AB=4，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系．

Answer 1

分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等；故M分别作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，易得MG=MH，而∠EMG、∠FMH都是∠GMF的余角，由此可证得∠EMG=∠FMH，即可证得△MGE≌△MHF，由此得证．
（2）此题要分四种情况讨论：
①当MN交BC于点E，MQ交CD于点F时；此种情况与（1）类似，不同的是（1）题用到的是全等，而此题运用的是相似，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H，通过证△MGE∽△MHF，得到关于ME、MF、MG、MH的比例关系式，联立矩形的性质及BC、AB的比例关系，即可求得ME、MF的比例关系；
②当MN的延长线交AB于点E，MQ交BC于点F时．解法同①；
③当MN、MQ两边都交边BC于E、F时，过M作MH⊥BC于H，由于M是AC的中点，且已知AB的长，即可求得MH=1，在Rt△EMF中，MH⊥EF，易证得△MEH∽△FEM，△FMH∽△FEM．可得

ME

FE

=

MH

FM

，

FM

FE

=

MH

EM

．将MH=1代入上述两式，然后联立勾股定理即可得到ME、MF的关系式；
④当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F时．可延长EM交BC于G，易证得△MED≌△MGB，即可得ME=MG，那么这种情况下与③完全相同，即可得解．

解答：（1）证明：过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中
∠1=∠2，
MG=MH，
∠MGE=∠MHF．
∴△MGE≌△MHF．
∴ME=MF．（3分）

（2）解：①当MN交BC于点E，MQ交CD于点F时．
过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2
∠MGE=∠MHF
∴△MGE∽△MHF．
∴

ME

MF

=

MG

MH

．
∵M为矩形对角线AB、AC的交点，∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点G、H分别是BC、DC的中点．
∵BC=2AB=4，
∴MG=

1

2

AB，MH=

1

2

BC．
∴

ME

MF

=

1

2

．（4分）
②当MN的延长线交AB于点E，MQ交BC于点F时．
过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2，
∠MGE=∠MHF．
∴△MGE∽△MHF．
∴

ME

MF

=

MG

MH

．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴MB=MA=MC．
又∵MG⊥AB，MH⊥BC，∴点G、H分别是AB、BC的中点．
∵BC=2AB=4，∴MG=

1

2

BC，MH=

1

2

AB．
∴

ME

MF

=2．（5分）
③当MN、MQ两边都交边BC于E、F时．
过点M作MH⊥BC于点H．
∴∠MHE=∠MHF=∠NMQ=90°．
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∴△MEH∽△FEM，△FMH∽△FEM．
∴

ME

FE

=

MH

FM

，

FM

FE

=

MH

EM

．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴点M为AC的中点．
又∵MH⊥BC，
∴点M、H分别是AC、BC的中点．
∵BC=2AB=4，
∴AB=2．
∴MH=1．
∴

1

ME

=

FM

MH•EF

=

FM

EF

，

1

MF

=

EM

MH•EF

=

EM

EF

．
∴

1

ME2

+

1

MF2

=

FM2+EM2

EF2

=1．（6分）
④当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F时．
延长FM交BC于点G．
易证△MFD≌△MGB．∴MF=MG．
同理由③得

1

MG2

+

1

ME2

=1．
∴

1

ME2

+

1

MF2

=1．（7分）
综上所述：ME与MF的数量关系是

ME

MF

=

1

2

或

ME

MF

=2或

1

ME2

+

1

MF2

=1．

点评：此题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用；由于（2）题的情况较多，做到不漏解是此题的难点．