【题目】已知等边△ABC边长为8cm,点D是AC的中点,点E在射线BD上运动,以AE为边在AE右侧作等边△AEF,作射线CF交射线BD于点M,连接AM.
(1)当点E在线段BD(不包括端点B,D)上时,求证:BE=CF;
(2)求证:MA平分∠BMN;
(3)连接DF,点E在移动过程中,线段DF长的最小值等于 (直接写出结果)
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)DF最小值为2cm.
【解析】
(1)欲证明BE=CF,只要证明△BAE≌△CAF(SAS)即可;
(2)首先证明∠BCM=90°,然后可得∠AMD=∠CMD=60°,求出∠AMN=60°即可;
(3)作DH⊥CN于H,根据点F的运动轨迹是射线CN可知,当点F与H重合时,DF的长最小,然后利用含30°直角三角形的性质求出DH即可.
(1)证明:∵△ABC,△AEF都是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(SAS),
∴BE=CF;
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,AD=DC,
∴BD⊥AC,∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°,
∴∠ABE=∠CBE=30°,MA=MC,
∵△BAE≌△CAF,
∴∠ABE=∠ACF=30°,
∴∠BCM=90°,
∴∠BMC=90°﹣30°=60°,
∵MA=MC,MB⊥AC,
∴∠AMD=∠CMD=60°,
∴∠AMN=60°,
∴∠AMN=∠AMD,
∴AM平分∠BMN.
(3)解:如图,作DH⊥CN于H.
∵∠BCN=90°,
∴点F的运动轨迹是射线CN,
根据垂线段最短可知,当点F与H重合时,DF的长最小,
∵CD=AD=4cm,∠DCH=30°,∠DHC=90°,
∴DH=CD=2cm,
∴DF最小值为2cm.
故答案为2cm.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)若∠A=40°,求∠DBC的度数;
(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求BC的长.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC垂足分别为E、F.
(1)求证:BE=BF;
(2)若△ABC的面积为70,AB=16,DE=5,则BC= .
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【题目】为了了解七年级学生体育测试成绩情况,现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下,其中右侧扇形统计图中的圆心角α为36°,根据图表中提供的信息,回答下列问题:
体育成绩统计表 | ||
体育成绩(分) | 人数(人) | 百分比(%) |
26 | 8 | 16 |
27 | 12 | 24 |
28 | 15 | |
29 | n | |
30 |
(1)求样本容量及n的值;
(2)已知该校七年级共有500名学生,如果体育成绩达28分以上为优秀,请估计该校七年级学生体育成绩达到优秀的总人数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等边三角形,点D在边AB上.
(1)如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB;
(2)如图2,当点E在△ABC内部时,猜想ED和EB数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当点E在△ABC外部时,EH⊥AB于点H,过点E作GE∥AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°,∠A=26°,将△ABC沿DE折叠,点A的对应点是点A′,则∠AEA′的度数是( )
A. 145° B. 152° C. 158° D. 160°
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正确的是( )
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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【题目】如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为( )
A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米
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