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    已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax2+bx经过点B、C．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
    （3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．
    （1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
    ∴点B（10，5），C（12，0），
    ∴
    100a+10b=5
    144a+12b=0
    ，
    解得
    a=-
    1
    4
    b=3
    ，
    ∴抛物线的函数表达式为y=-
    1
    4
    x2+3x；

    （2）根据勾股定理，AC=
    		OA2+OC2
    =
    		52+122
    =13，
    ∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
    ∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
    CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
    ∵∠ACO≠90°，
    ∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
    ①∠PQC=90°时，cos∠ACO=
    CQ
    CP
    =
    OC
    AC
    ，
    即
    t
    13-2t
    =
    12
    13
    ，
    解得t=
    156
    37
    ，
    ②∠CPQ=90°时，cos∠ACO=
    CP
    CQ
    =
    OC
    AC
    ，
    即
    13-2t
    t
    =
    12
    13
    ，
    解得t=
    169
    38
    ，
    综上所述，t为
    156
    37
    秒或
    169
    38
    秒时，△PQC是直角三角形；

    （3）抛物线对称轴为直线x=-
    b
    2a
    =-
    3
    2×(-
    1
    4
    )
    =6，
    ①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边，
    ∵OC=12，
    ∴点M的横坐标为：6-12=-6，
    代入抛物线解析式得，y=-
    1
    4
    ×（-6）2+3×（-6）=-27，
    此时点M的坐标为（-6，-27），
    ∵OA=5，
    ∴点N的纵坐标为：-27-5=-32，
    ∴点N的坐标为（6，-32）；
    （ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12，
    ∴点M的横坐标为：6+12=18，
    代入抛物线解析式得，y=-
    1
    4
    ×182+3×18=-27，
    此时点M的坐标为（18，-27），
    ∵OA=5，
    ∴点N的纵坐标为：-27+5=-22，
    ∴点N的坐标为（6，-22）；
    ②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上，
    ∴点M也在抛物线对称轴上，
    ∴点M为抛物线的顶点，
    ∵y=-
    1
    4
    x2+3x=-
    1
    4
    （x-12x+36）2+9=-
    1
    4
    （x-6）2+9，
    ∴M（6，9），
    ∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上，
    ∴点P的坐标为（6，
    5
    2
    ），
    ∴点N的纵坐标为：2×
    5
    2
    -9=-4，
    ∴点N（6，-4）；
    综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．
    练习册系列答案
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    某公司推出一款新型手机，投放市场以来前3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：
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    （1）求这条抛物线的解析式；
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    PM
    BE
    +
    PN
    AD
    是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
    （3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断
    PA
    PB
    =
    EF
    EG
    是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，水面AB宽24m，拱顶距离水面4m．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
    （1）求抛物线的解析式；
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=
    4
    3
    x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
    （3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
    （1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
    （2）求点D的坐标；
    （3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF∥BC，交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF（点P与点A在直线EF的异侧），设EF为x，△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y．
    （1）求线段AG（用x表示）；
    （2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
    1
    2
    ，
    9
    8
    ），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
    （1）求a值；
    （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
    （3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
    （1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5
    		2
    cm2？
    （2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
    （3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

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