Question

【题目】如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,以AB为直径的⊙O分别交边AD和对角线BD于点E、F,连接EF并延长交边BC于点G,连接BE。

(1)求证:AE=DE;

(2)若⊙O的半径为2,求EG的长

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4.

【解析】

（1）先证明△ABD为等边三角形，再根据AB为直径得到BE⊥AD，利用三线合一即可求解；

（2）证明四边形ABGE为平行四边形，得到EG=AB即可求解.

（1）∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=AB，

∵∠BAD=60°

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴BE⊥AD，

∴AE=DE；

（2）∵四边形ABFE是圆内接四边形，

∴∠FBA+∠FEA=180°，

∵△ABD为等边三角形，

∴∠FBA=∠BAE=60°，

∴∠BAE+∠FEA=180°，

∴AB∥EG，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴四边形ABGE为平行四边形

∴EG=AB=2r=4.