如图.抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A.与y轴交于点C.连接AC.点M是线段OA上的一个动点.过点M作MN∥AC.交OC于点N.将△OMN沿直线MN折叠.点O的对应点O′落在第一象限内.设OM=t.△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．(1)求抛物线的解析式,(2)①当点O′落在AC上时.请直接写出此时t的值,②求S与t的函数关系式,(3)在点M运动的过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，抛物线y=ax²+

x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM=t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；
②求S与t的函数关系式；
（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．

考点：二次函数综合题,平行线的判定,勾股定理的应用,等腰梯形的判定

专题：压轴题

分析：（1）应用待定系数法即可求得解析式．
（2）①根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M=∠O′AM，从而求得OM=AM=

OA，进而求得t的值；②根据平行线分线段成比例定理求得ON=

OM=

t，即可求得三角形的面积S；
（3）根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y=2x，设O′（m，2m），根据O′N=

t先求得m与t的关系式，然后根据O′C=OB即可求得．

解答：

解：（1）∵抛物线y=ax²+

x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），
∴

0=16a+6+c

0=a-

，
解得

a=-

c=2

，
∴抛物线的解析式：y=-

x²+

x+2；

（2）①如图1，∵MN∥AC，
∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M
∵∠OMN=∠O′MN，
∴∠AO′M=∠O′AM，
∴O′M=AM，
∵OM=O′M，
∴OM=AM=t，
∴t=

OA=

×4=2；
②由抛物线的解析式：y=-

x²+

x+2可知C（0，2）
∵A（4，0）、C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵MN∥AC，
∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，
∴ON=

OM=

t，
∴当0＜t≤2时，S=

ON•OM=

t×t=

t²．
当2＜t≤4时，S=

t×t-

[t-（4-t）][

t-（2-

t）]=

t²-（t-2）²=-

t²+4t-4；
∴S=

t2 (0＜t≤2)

t2+4t-4 (2＜t≤4)

；

（3）如图2，∵B（-1，0），C（0，2），

∴直线BC的斜率为2，
∵OO′∥BC，
∴直线OO′的解析式为y=2x，
设O′（m，2m），
∵O′N=ON=

t，
∴O′N²=m²+（2m-

t）²=（

t）²，
∴t=

m，
∴O′C²=m²+（2-2m）²，
∵OB=O′C，
∴m²+（2-2m）²=（-1）²，
解得m₁=1，m₂=

，
∴O′（1，2）或（

，

），
∵C（0，2），
∴当O′（1，2）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形，此时t=

，
当O′（

，

）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形，此时t=

．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理的应用，关于轴对称的两个图形的性质，平行四边形的判定，梯形的判定等．

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