Question

把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD（如下图）．有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．
（1）将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（如图1），通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）在旋转过程中四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；
（3）若将（1）中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A、C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图3），那么PE、PF之间又有什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）AE=AF．
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴AE=AF．

（2）解：周长是变化的．
由△ABE≌△ACF（ASA）得到BE=CF，所以CF+CE=BC，
当AE、AF最短时，即AE⊥BC、AF⊥CD，周长最小，
周长最小值为4+；

（3）证明：
过点P作PM⊥BC、PN⊥CD，垂足分别为M、N．
∴∠PME=∠PNF=90°，∵在菱形ABCD中，
CA平分∠BCD，∴PM=PN，
∵∠BCD=120°，∠EPF=60°，
∴∠PEC+∠PFC=360°-（120°+60°）
=180°，
∵∠PFN+∠PFC=180°，
∴∠PEC=∠PFN，
又∵∠PME=∠PNF，PM=PN，∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．
分析：（1）根据已知得出∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF=60°，即可得出△ABE≌△ACF即可得出答案；
（2）由△ABE≌△ACF（ASA）得到BE=CF，所以CF+CE=BC，当AE、AF最短时，即AE⊥BC、AF⊥CD，周长最小；
（3）利用菱形的性质得出∠PEC=∠PFN，再利用∠PME=∠PNF，PM=PN，得出△PEM≌△PFN，即可得出答案．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及菱形的性质等知识，利用已知得出∠PEC=∠PFN，灵活的应用全等的判定是解决问题的关键．