Question

探索题：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（1）当x=3时，（3-1）（3³+3²+3+1）=3⁴-1=

80

（2）试求：2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值．
（3）判断2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的个位数是几？（要有适当的解题过程）

Answer 1

分析：（1）根据已知直接求出即可；
（2）根据题目中的方法，可将1恒等变形为（2-1），套入方法可得答案．
（3）由（1）易得，2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=2²⁰¹¹-1，依次分析2的次方的个位数字可得规律，运用规律可得2²⁰¹¹的个位数字是2，进而可得答案

解答：解：（1）当x=3时，（3-1）（3³+3²+3+1）=3⁴-1=81-1=80；

（2）2⁵+2⁴+2³+2²+2+1，
=1×（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=（2-1）（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=2⁶-1，
=63；

（3）由（1）可得，2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=2²⁰¹¹-1，
分析可得：2的1次方个位是2，2的2次方个位是4，2的3次方个位是8，2的4次方个位是6，
2的5次方个位是2，2的6次方个位是4，2的7次方个位是8，2的8次方个位是6，
…，四个一组，依次循环，故可得2²⁰¹¹的个位数字是8，
则2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1即2²⁰¹¹-1的值的个位数是7．

点评：此题考查了尾数特征，根据已知发现规律并运用规律是解题关键，有一定难度，但认真观察，细心分析也可以求解．