Question

如图所示在直角坐标系中，直角三角形AOB的定点坐标分别为A（0、2），O（0、0），B（4、0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（A点转到C点位置）抛物线y=ax²+bx+c经过点C、D、B三点。
（1）求抛物线的解析式。
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积。
（3）在抛物线上是否存在一点M 使 △MBC的面积等于△PAB的面积；若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）旋转后求得C、D点的坐标C（-2、0），D（0、4），
设通过点C（-2、0），B（4、0）的抛物线y=a（x+2）（x-4），
∵ 过点D（0、4）
∴解得，
∴解析式为；
（2）∵当x=1时，y 的最小值为，
∴点P的坐标为（1、），
直线AP的解析式为：，
∴直线AP与X轴的交点坐标为（，0），
∴；
（3）假设存在点M，则由题意可得：，
∵BC=6，
∴，，
当，则，得，，
当，则，得，，
所以存在这样的点M有4个 （，2），（，2），（，-2），（，-2）。