如图.在△ABC中.∠B=90°.AB=12mm.AC=24mm.动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动.动点D从点A开始沿边AC以4mm/s的速度移动．过点D作QD∥AB交BC于Q.设P.D两点从点A同时出发.运动时间为ts．(1)是否存在t值.使四边形APQD为平行四边形?若存在.求出t值,若不存在.说明理由．(2)当t为何值时.△PBQ为等腰三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，AC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点D从点A开始沿边AC以4mm/s的速度移动．过点D作QD∥AB交BC于Q，设P，D两点从点A同时出发，运动时间为ts．
（1）是否存在t值，使四边形APQD为平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（3）是否存在t值，使四边形APQD为菱形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由，并探究如何改变D点的运动速度（匀速运动），使四边形APQD在某一时刻为菱形，求点D的速度及t值．

分析（1）由平行线得出比例式$\frac{CD}{AC}=\frac{DQ}{AB}$，得出DQ=12-2t，当DQ=AP时，12-2t=2t，解方程即可得出t的值；
（2）由题意得出PB=12-2t（mm），AD=4tmm，求出∠C=30°，得出BC、CQ，求出BQ，当PB=BQ时，得出方程，解方程即可求出t的值；
（3）由AD=4t mm，AP=2t mm，AD≠AP，得出不存在t值，使四边形APQD为菱形；设D点的运动速度为amm/s，由平行线得出比例式，得出DQ，由AP=AD=DQ，得出2t=at=12-$\frac{at}{2}$，求出a、t的值即可．

解答解：（1）存在，t=3；理由如下：
∵DQ∥AB，
∴△CDQ∽△CAB，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{DQ}{AB}$，
即$\frac{24-4t}{24}=\frac{DQ}{12}$，
解得：DQ=12-2t，
当DQ=AP时，四边形APQD是平行四边形，
∴12-2t=2t，
解得：t=3；
∴t=3时，四边形APQD是平行四边形；
（2）根据题意得：PB=12-2t（mm），AD=4tmm，
∵∠B=90°，AB=12mm，AC=24mm，
∴∠C=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$AB=12$\sqrt{3}$，
∵DQ∥AB，
∴∠DQC=90°，
∴CQ=$\sqrt{3}$DQ=$\sqrt{3}$（12-2t），
∴BQ=BC-CQ=2$\sqrt{3}$t，
当PB=BQ时，12-2t=2$\sqrt{3}$t，
解得：t=3$\sqrt{3}$-3；
∴当t=（3$\sqrt{3}$-3）s时，△PBQ为等腰三角形；
（3）不存在．
∵AD=4t mm，AP=2t mm，AD≠AP，
∴不存在t值，使四边形APQD为菱形；
设D点的运动速度为amm/s，
∵DQ∥AB，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{DQ}{AB}$，
即$\frac{24-at}{24}=\frac{DQ}{12}$，
解得：DQ=12-$\frac{at}{2}$，
当四边形APQD为菱形时，AP=AD=DQ，
即2t=at=12-$\frac{at}{2}$，
解得：a=2，t=4，
∴当D点的运动速度为2mm/s时，存在t=4，使四边形APQD为菱形．

点评本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、三角函数、菱形的性质、等腰三角形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过证明三角形相似得出方程才能得出结果．

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