【题目】已知,,点在射线上,.
(1)如图 1,若,求的度数;
(2)把“°”改为“”,射线 沿射线 平移,得到,其它条件不变(如 图 2 所示),探究 的数量关系;
(3)在(2)的条件下,作,垂足为 ,与 的角平分线 交于点,若 , 用含 α 的式子表示(直接写出答案).
【答案】(1) 150°;(2) ∠OCD+∠BO'E=240°;(3) 30°+.
【解析】
(1)先求出到∠AOE的度数,再根据直角、周角的定义即可求解;
(2)过O点作OF//CD,根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系;
(3)根据四边形内角和为360°,再结合(2)的结论以及角平分线的定义即可解答.
解:(1)∵CD//OE,
∴∠AOE=∠OCD=120°,
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°;
(2)如图2,过O点作OF//CD,
∴CD//OE,
∴OF∥OE,
∴∠AOF=180°-∠OCD,∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E,
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-(∠OCD+∠BO'E)=120°,
∴∠OCD+∠BO'E=240°;
(3)∵CP是∠OCD的平分线,
∴∠OCP=∠OCD,
∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°-∠OCD
=150°-(240°-∠BO'E)
=30°+
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【题目】已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=45°.
(1)如图①求证:BE+DF=EF;
(2)连接BD分别交AE、AF于M、N,
①如图②,若AB=6,BM=3,求MN.
②如图③,若EF∥BD,求证:MN=CE.
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【题目】甲骑自行车从A地出发前往B地,同时乙步行从B地出发前往A地,如图的折线OPQ和线段EF,分表表示甲、乙两人与A地的距离、与他们所行时间之间的函数关系,且OP与EF相交于点M.
求线段OP对应的与x的函数关系式;
求与x的函数关系式以及A,B两地之间的距离;
求经过多少小时,甲、乙两人相距3km.
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【题目】(阅读材料)
平面直角坐标系中,点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示为|y|,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的勾股值,记为[P],即[P]=|x|+|y|(其中的“+“是四则运算中的加法),例如点P(1,2)的勾股值[P]=|1|+|2|=3.
(解决问题)
(1)求点A(-2.4),B(+-)的勾股值[A],[B];
(2)若点M在x轴的上方,其横,纵坐标均为整数,且[M]=3,请直接写出点M的坐标.
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【题目】如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2-2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设⊙B, ⊙M′都与直线l′相切,半径分别为R1、R2 , 当R1+R2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).
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【题目】若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示,且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根,则常数k的取值范围是( )
A.0<k<4
B.﹣3<k<1
C.k<﹣3或k>1
D.k<4
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【题目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.
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