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(2012•三明)已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图,当点M与点A重合时,求:
①抛物线的解析式;
②点N的坐标和线段MN的长;
(2)抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)①首先求得直线与x轴,y轴的交点坐标,利用二次函数的对称轴的公式即可求解;
②N在直线上同时在二次函数上,因而设N的横坐标是a,则在两个函数上对应的点的纵坐标相同,据此即可求得a的值,即N的坐标,过N作NC⊥x轴,垂足为C,利用勾股定理即可求得MN的长;
(2)△AOB的三边长可以求得OB=2OA,AB边上的高可以求得是
5
,抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移,则MN的长度不变,根据(1)的结果是2
5
,MN是AB边上的高的二倍,当OM⊥AB或ON⊥AB时,两个三角形相似,据此即可求得M的坐标.
解答:解:(1)①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B,
A(
5
2
,0)
,B(0,-5).                             
解法一:当顶点M与点A重合时,∴M(
5
2
,0)

∴抛物线的解析式是:y=-(x-
5
2
)2
.即y=-x2+5x-
25
4
.   
解法二:当顶点M与点A重合时,∴M(
5
2
,0)

-
b
2×(-1)
=
5
2
,∴b=5.
又∵
4×(-1)c-b2
4×(-1)
=0
,∴c=-
25
4

∴抛物线的解析式是:y=-x2+5x-
25
4
.                 
②∵N在直线y=2x-5上,设N(a,2a-5),又N在抛物线y=-x2+5x-
25
4
上,
2a-5=-a2+5a-
25
4
.                 
解得  a1=
1
2
a2=
5
2
(舍去)
N(
1
2
,-4)
.                             
过N作NC⊥x轴,垂足为C.
N(
1
2
,-4)
,∴C(
1
2
,0)

∴NC=4. MC=OM-OC=
5
2
-
1
2
=2
.   
MN=
NC2+MC2
=
42+22
=2
5


   
(2)∵A(
5
2
,0)
,B(0,-5).                             
∴OA=
5
2
,OB=5,直线AB的解析式是:y=2x-5,
则OB=2OA,AB=
OA2+OB2
=
5
5
2

当OM⊥AB时,直线OM的解析式是:y=-
1
2
x,
解方程组:
y=2x-5
y=-
1
2
x

解得:
x=2
y=-1

则M的坐标是(2,-1);
当ON⊥AB时,N的坐标是(2,-1),设M的坐标是(m,2m-5)则m>2,
∵ON=
5

∴OM2=ON2+MN2
即m2+(2m-5)2=5+(2
5
2
解得:m=4,
则M的坐标是M(4,3).
故M的坐标是:(2,-1)或(4,3).
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式,注意到MN是AB边上的高的二倍,当OM⊥AB或ON⊥AB时,两个三角形相似是解题的关键.
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35
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