Question

（2012•三明）已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x²+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线y=-x²+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①首先求得直线与x轴，y轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴的公式即可求解；
②N在直线上同时在二次函数上，因而设N的横坐标是a，则在两个函数上对应的点的纵坐标相同，据此即可求得a的值，即N的坐标，过N作NC⊥x轴，垂足为C，利用勾股定理即可求得MN的长；
（2）△AOB的三边长可以求得OB=2OA，AB边上的高可以求得是

5

，抛物线y=-x²+bx+c在直线AB上平移，则MN的长度不变，根据（1）的结果是2

5

，MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似，据此即可求得M的坐标．

解答：解：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，
∴A(

5

2

，0)，B（0，-5）．                             
解法一：当顶点M与点A重合时，∴M(

5

2

，0)．
∴抛物线的解析式是：y=-(x-

5

2

)2．即y=-x2+5x-

25

4

．   
解法二：当顶点M与点A重合时，∴M(

5

2

，0)．
∵-

b

2×(-1)

=

5

2

，∴b=5．
又∵

4×(-1)c-b2

4×(-1)

=0，∴c=-

25

4

．
∴抛物线的解析式是：y=-x2+5x-

25

4

．                 
②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线y=-x2+5x-

25

4

上，
∴2a-5=-a2+5a-

25

4

．                 
解得  a1=

1

2

，a2=

5

2

（舍去）
∴N(

1

2

，-4)．                             
过N作NC⊥x轴，垂足为C．
∵N(

1

2

，-4)，∴C(

1

2

，0)．
∴NC=4． MC=OM-OC=

5

2

-

1

2

=2．   
∴MN=

NC2+MC2

=

42+22

=2

5

；

   
（2）∵A(

5

2

，0)，B（0，-5）．                             
∴OA=

5

2

，OB=5，直线AB的解析式是：y=2x-5，
则OB=2OA，AB=

OA2+OB2

=

5 5

2

，
当OM⊥AB时，直线OM的解析式是：y=-

1

2

x，
解方程组：

y=2x-5 y=- 1 2 x

，
解得：

x=2 y=-1

，
则M的坐标是（2，-1）；
当ON⊥AB时，N的坐标是（2，-1），设M的坐标是（m，2m-5）则m＞2，
∵ON=

5

，
∴OM²=ON²+MN²，
即m²+（2m-5）²=5+（2

5

）²，
解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，注意到MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似是解题的关键．