Question

1．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF． 
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=6$\sqrt{2}$，求线段D′F的长．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；
（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，又易证DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．

解答 （1）证明：如图1，∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠1=∠2，AE=EC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∴AE=AF．   
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）解：如图2，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°，
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F=DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=$6\sqrt{2}$，
∴AG=GB=6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠4=∠5=60°．
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴$GE=\frac{AG}{tan60°}=2\sqrt{3}$．
∴$BE=BG+GE=6+2\sqrt{3}$．
∴$D'F=6+2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解决第2小题的关键．