Question

11．已知关于x的方程kx²-（3k-1）x+2（k-1）=0．
（1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根．
（2）若抛物线y=kx²-（3k-1）x+2（k-1）与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两段，且线段AB=2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分k=0与k≠0两种情况进行分类讨论；
（2）先用k表示出x的值，再根据AB=2即可得出k的值．

解答 （1）证明：k=0时，方程为x-2=0，方程有实数根．
k≠0时，方程为一元二次方程，
△=（3k-1）²-8k（k-1）
=k²+2k+1=（k+1）²
∵（k+1）²≥0，
∴一元二次方程有实根，
∴无论k为任何实数，方程总有实根．

（2）解方程  kx²-（3k-1）x+2（k-1）=0
得：x=$\frac{3k-1±（k+1）}{2k}$，即x₂=2，x₂=$\frac{k-1}{k}$．
∵AB=2，
∴2-$\frac{k-1}{k}$=2或$\frac{k-1}{k}$-2=2，
∴k=1或k=$-\frac{1}{3}$．
∴k的值为1或-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．