Question

3．如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两 点，AC平分∠EAB，CD⊥AE于D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AB于F，如图2，判断CF和AF，DE之间的数量关系，并证明之；
（3）若AD-OA=1.5，AC=3$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，则有AD⊥CD可判断OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连结CE，如图2，根据角平分线的性质得CD=CF，再证明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接着证明Rt△DEC∽Rt△DCA，理由相似得性质得DE：DC=DC：DA，然后利用等线段代换即可得到CF²=DE•AF；
（3）设⊙O的半径为r，由AD=AF，AD-OA=1.5可得到OF=1.5，再证明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可计算出r=3，接着在Rt△FCO中，利用余弦的定义可求出∠COB=60°，然后根据扇形的面积公式和等边三角形面积公式和S_阴影部分=S_扇形BOC-S_△BOC进行计算即可．

解答 （1）证明：连接OC，如图1，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：CF²=AF•DE．理由如下：
连结CE，如图2，
∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，
∴CD=CF，
在Rt△ACD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌△ACF，
∴AD=AF，
∵四边形CEAB内接于⊙O，
∴∠DEC=∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠2=90°，
而∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，
∴∠DEC=∠ACD，
∴Rt△DEC∽Rt△DCA，
∴DE：DC=DC：DA，
∴DC²=DE•DA，
∴CF²=DE•AF；
（3）解：设⊙O的半径为r，
∵AD=AF，而AD-OA=1.5，
∴AF=AD=OA+OF=r+1.5
∴OF=1.5，
∵∠CAB=∠FAC，
∴Rt△ACF∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{3\sqrt{3}}{2r}$=$\frac{r+1.5}{3\sqrt{3}}$，解得r=3或r=-$\frac{9}{2}$（舍去），
在Rt△FCO中，∵cos∠COF=$\frac{OF}{OC}$=$\frac{1.5}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COB=60°，
∴S_阴影部分=S_扇形BOC-S_△BOC
=$\frac{60•π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²
=$\frac{3}{2}$π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．