Question

如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x²-2mx+3=0的两根，AB=m．试求：
（1）⊙O的半径；
（2）由PA，PB，

AB

围成图形（即阴影部分）的面积．

Answer 1

分析：用切线的性质及根的判别式求出m的值即AB的长，代入原方程得出两根即PA、PB的长，因AB=PA=PB，△ABP为等边三角形，∠APB=60°，则∠APO=30°，再用正切公式求出OA的长及圆的半径．用正切求出OP的长，四边形的度数和求出∠AOB的度数，再求出△AOB和△APB的面积和，减去扇形OAB的面积即为所求．

解答：解：（1）连OA，OB，
∵PA=PB，（1分）
∴△=（-2m）²-4×3=0，
∴m²=3，m＞0，
∴m=

3

，
∴x²-2

3

x+3=0，
∴x₁=x₂=

3

，
∴PA=PB=AB=

3

，
∴△ABP等边三角形，
∴∠APB=60°，（3分）
∴∠APO=30°，
∵PA=

3

，
∴OA=1；（4分）

（2）∵∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
S_阴=S_{四边形OAPB}-S_扇形OAB
=2S_△AOP-S_扇形OAB
=2×

1

2

×1×

3

-

120•π•12

360

，
=

3

-

1

3

π．（8分）

点评：考查根的判别式，切线的性质，定理及组合图形面积．