Question

如图，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B，交x轴于另一点C，顶点为D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点C、D两点的坐标；
（3）求△ABD的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先根据直线y=x+3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值；
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标；
（3）对称轴交x轴与点E，利用△ABD的面积=四边形AOBD的面积-△ABO的面积=△AED的面积+梯形OEDB的面积-△ABO的面积计算即可．

解答：解：（1）直线y=x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是
A（-3，0），B（0，3），
抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，
c=3
-9-3b+c=0，
得到b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式y=-x²-2x+3．
（2）令-x²-2x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
所以C点的坐标为（1，0）；
y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
所以顶点D的坐标为（-1，4）．
（3）如图，
△ABD的面积=四边形AOBD的面积-△ABO的面积
=△AED的面积+梯形OEDB的面积-△ABO的面积
=

1

2

×2×4+

1

2

（4+3）×1-

1

2

×3×3
=3．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．