分析 过A作AH垂直于直线l,直线l与x轴交于点D,由A在二次函数图象上,设A横坐标为m,将x=m代入二次函数解析式,表示出纵坐标,确定出A的坐标,再由O的坐标,表示出直线AO的解析式,进而表示出M,N及H的坐标,得出OD,ND,HA,及NH,在直角三角形OND中,利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM,在直角三角形ANH中,利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM,化简后得到tan∠ONM=tan∠ANM,可得出∠ONM=∠ANM,得证.
解答 证明:过A作AH⊥l于H,l与x轴交于点D,如图所示:
设A(m,$\frac{1}{4}$m2-2m),又O(0,0),
∴直线AO的解析式为y=$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}-2m}{m}$x=($\frac{1}{4}$m-2)x,
则M(4,m-8),N(4,-m),H(4,$\frac{1}{4}$m2-2m),
∴OD=4,ND=m,HA=m-4,NH=ND-HD=$\frac{1}{4}$m2-m,
在Rt△OND中,tan∠ONM=$\frac{OD}{DN}$=$\frac{4}{m}$,
在Rt△ANH中,tan∠ANM=$\frac{HA}{HN}$=$\frac{m-4}{\frac{1}{4}{m}^{2}-m}$=$\frac{4(m-4)}{m(m-4)}$=$\frac{4}{m}$,
∴tan∠ONM=tan∠ANM,
∴∠ANM=∠ONM.
点评 本题考查了两点坐标确定一次函数解析式,锐角三角函数定义,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理,以及相似三角形的判定与性质,是一道综合性的题目,难度中等.
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