Question

如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．
（1）求证：OB=OD；
（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得出∠BAC=∠DAC，由已知得出∠BAO=∠DAO，推出O在AC上，根据线段垂直平分线性质即可得出结论；
（2）根据矩形、平行四边形的对角线不一定平分一组对角得出结论不成立，根据等腰三角形性质和线段垂直平分线性质得出是等腰三角形时，结论成立．

解答：（1）证明：连接OA、AC、BD，
∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，
∴∠BAO=∠DAO，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，
∴O在AC上，
∴OB=OD．

（2）解：矩形和平行四边形时，结论不成立，等腰三角形时，结论成立，
因为：矩形和平行四边形的对角线不一定平分对角，而等腰三角形的三线合一性质，能得出结论成立．

点评：本题考查了矩形性质、平行四边形性质、线段垂直平分线性质、菱形性质等知识点的运用，本题题型较好，具有一定的代表性，但是也是一道比较容易出错的题目．