Question

如图，已知抛物线C₁∶y＝a(x＋2)²－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1．

(1)求P点坐标及a的值；

(2)图(1)，抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；

(3)图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线

C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由抛物线C1：得 　　顶点P的为(－2，－5)　2分 　　∵点B(1，0)在抛物线C1上 　　∴ 　　解得，a＝　4分 　　(2)连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G 　　∵点P、M关于点B成中心对称 　　∴PM过点B，且PB＝MB 　　∴△PBH≌△MBG 　　∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3 　　∴顶点M的坐标为(4，5)　5分 　　抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到 　　∴抛物线C3的表达式为　6分 　　(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到 　　∴顶点N、P关于点Q成中心对称 　　由(2)得点N的纵坐标为5 　　设点N坐标为(m，5)　7分 　　作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 　　作PK⊥NG于K 　　∵旋转中心Q在x轴上 　　∴EF＝AB＝2BH＝6 　　∴FG＝3，点F坐标为(m＋3，0) 　　H坐标为(2，0)，K坐标为(m，－5)， 　　根据勾股定理得 　　PN2＝NK2＋PK2＝m2＋4m＋104 　　PF2＝PH2＋HF2＝m2＋10m＋50 　　NF2＝52＋32＝34　8分 　　①当∠PNF＝90°时，PN2＋NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为(，0) 　　②当∠PFN＝90°时，PF2＋NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为(，0) 　　③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90° 　　综上所得，当Q点坐标为(，0)或(，0)时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．9分