Question

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AD=$\frac{4}{3}\sqrt{6}$，BC=4$\sqrt{2}$，求CD的长．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，在直角△ABE和直角△CDF中利用三角函数，可以用x表示出BE，CF，然后根据EF=BC+CF-BE列方程求得x的值，再在直角△CDF中利用三角函数求得CD的长．

解答 解：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，AE=DF，EF=AD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{6}$．
设AE=DF=x，
∵直角△ABE中，∠B=45°，
∴BE=$\frac{AE}{tanB}$=$\frac{x}{tan45°}$=x．
∵在直角△CDF中，∠DCF=180°-120°=60°，
∴CF=$\frac{DF}{tan∠DCF}$=$\frac{x}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$．
又∵EF=BC+CF-BE，
∴$\frac{4}{3}$$\sqrt{6}$=4$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-x，
解得：x=4$\sqrt{2}$．
在直角△CDF中，CD=$\frac{DF}{sin∠DCF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形，根据EF=BC+CF-BE求得x的值是关键．