Question

16．如图，将抛物线y=x²向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
（1）求a的值；
（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S_△ABC；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式y=x²-2ax+a²，令其x=0找出点B的坐标，根据△AOB为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出△ABC为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出S_△ABC的值．

解答 解：（1）平移后的抛物线的解析式为y=（x-a）²=x²-2ax+a²，
令y=x²-2ax+a²中x=0，则y=a²，
∴B（0，a²）．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴a=a²，解得：a=1或a=0（舍去）．
故a的值为1．
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
∵AD为抛物线的对称轴，
∴AB=AC，∠CAD=∠BAD=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∵点B（0，1），抛物线对称轴为x=1，
∴点C的坐标为（2，1）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．
故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S_△ABC=1．

点评 本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．