Question

D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．O是平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、E、F、G．
（1）如图1，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若点O在△ABC外，其余条件不变，点O的位置应满足什么条件，能使四边形DEFG是菱形？请在画2中补全图形，并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,三角形中位线定理,菱形的判定

专题：

分析：（1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE=

1

2

BC，同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四边形DGFE是平行四边形；
（2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案．

解答：（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四边形DEFG是平行四边形．

（2）点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上．理由如下：
如图，∵由（1）得出四边形DEFG是平行四边形，
∴点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上时，
可得GD=

1

2

AO，GF=

1

2

BC，
∴DG=GE，
∴平行四边形DEFG是菱形．

点评：此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．