Question

6．⊙O中，弦AC、BD交于点E，$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$
（1）如图1，求证：BE=CE；
（2）如图2，若BC=EC，过圆点O作OF⊥AC于F，延长FO交BD于G，DE=3，GE=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，根据圆周角定理得到∠ACB=∠DBC，则利用等腰三角形的判定定理可结论
（2）作BH⊥AC于H，如图2，由$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$得$\widehat{BAD}$=$\widehat{CDA}$，根据圆心角、弧、弦的关系得AC=BD，而BE=CE，所以AE=DE=3，再证明△BCE为等边三角形，得到∠BEC=∠BCE=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△EGF中可计算出EF=$\frac{1}{2}$GF=1，由垂径定理得到AF=CF=AE+EF=4，则AC=2AF=8，于是得到CE=AC-AE=5=BC，接着在Rt△BCH中，计算出CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，BH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，所以AH=AC-CH=$\frac{11}{2}$，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算出AB=7，最后由弧AB=弧CD得到CD=AB=7．

解答 （1）证明：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ACB=∠DBC，
∴EB=EC；

（2）解：作BH⊥AC于H，如图2，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$+$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$+$\widehat{AD}$，即$\widehat{BAD}$=$\widehat{CDA}$，
∴AC=BD，
∵BE=CE，
∴AE=DE=3，
∵BC=CE=BE，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠BCE=60°，
在Rt△EGF中，∵∠EGF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$GF=1，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF=AE+EF=3+1=4，
∴AC=2AF=8，
∴CE=AC-AE=8-3=5，
∴BC=5，
在Rt△BCH中，CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，BH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴AH=AC-CH=$\frac{11}{2}$，
在Rt△ABH中，AB=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{11}{2}）^{2}}$=7，
∵弧AB=弧CD，
∴CD=AB=7．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质和垂径定理．