Question

【题目】如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，在抛物线上找到一点D，使得∠DCB=∠ACO，则D点坐标为____________________.

Answer 1

【答案】（，），（-4，-5）

【解析】

求出点A、B、C的坐标，当D在x轴下方时，设直线CD与x轴交于点E，由于∠DCB=∠ACO．所以tan∠DCB=tan∠ACO，从而可求出E的坐标，再求出CE的直线解析式，联立抛物线即可求出D的坐标，再由对称性即可求出D在x轴上方时的坐标．

令y=0代入y=-x2-2x+3，

∴x=-3或x=1，

∴OA=1，OB=3，

令x=0代入y=-x2-2x+3，

∴y=3，

∴OC=3，

当点D在x轴下方时，

∴设直线CD与x轴交于点E，过点E作EG⊥CB于点G，

∵OB=OC，

∴∠CBO=45°，

∴BG=EG，OB=OC=3，

∴由勾股定理可知：BC=3，

设EG=x，

∴CG=3-x，

∵∠DCB=∠ACO．

∴tan∠DCB=tan∠ACO=，

∴，

∴x=，

∴BE=x=，

∴OE=OB-BE=，

∴E（-，0），

设CE的解析式为y=mx+n，交抛物线于点D2，

把C（0，3）和E（-，0）代入y=mx+n，

∴,解得：.

∴直线CE的解析式为：y=2x+3，

联立

解得：x=-4或x=0，

∴D2的坐标为（-4，-5）

设点E关于BC的对称点为F，

连接FB，

∴∠FBC=45°，

∴FB⊥OB，

∴FB=BE=，

∴F（-3，）

设CF的解析式为y=ax+b，

把C（0，3）和（-3，）代入y=ax+b

解得：，

∴直线CF的解析式为：y=x+3，

联立

解得：x=0或x=-

∴D1的坐标为（-，）

故答案为：（-，）或（-4，-5）